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145.荣格定理（第1页）

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荣格（HeinrichWilhelmEwaldJung，1876—1953）

1901年

不论一群鸟分布得有多复杂，只要把每一只鸟都视为空间上的一个点，则一个半径不大于√6d4的球体就能把它们通通包起来。如果是在四维空间的一群椋雀，你还记得这样一个四维超球体的最大半径是多少吗？

欧几里得的《几何原本》（公元前300年），非欧几里得几何（1829年）及西尔维斯特直线问题（1893年）

在一个由有限点所组成的集合中—就好像一张描述夜空的星座图，或者在一张纸上随机洒上的几滴墨汁—找出其中距离最远的两个点画线连起来。这条距离最远的线段长度假定为d，也就是我们所称点集合的几何跨距，则荣格定理告诉我们：无论集合内的点状分布再怎么稀奇古怪，保证都可以纳进一个半径不大于√d3的圆形之中。如果几何内的点恰好分布在边长为1的等边三角形边界上，则涵盖所有点的圆形不但会经过三角形的三个顶点，而且半径就是1√3。荣格定理可以延拓到三维空间，亦即包含所有点的球体半径不大于√6d4。换句话说，如果我们在三维空间内找到一个点状分布的集合，比方说是一群鸟或是一群鱼，我们最多只要用这样大小的球体就能把飞鸟或游鱼一网打尽。荣格定理后来也延拓到各种非欧几里得几何与空间。

如果要把荣格定理朝向更复杂、更抽象的领域一般化，譬如在更高维度的空间用一个n维超球体把一群鸟包起来时，别忘了以下这个精简、奇妙的公式：

也就是说，最大半径d√25的四维超球体就能够涵盖住一群飞越四维空间的椋雀。德国数学家荣格在1895年至1899年间就读于马堡大学及柏林大学时，学习领域包括数学、物理和化学，之后在1901年就提出了这项定理。看书阁『seeshu』，為您提供精彩小說閱讀

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