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084.欧拉多边形分割问题（第1页）

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欧拉（LeonhardPaulEuler，1707—1783）

1751年

一个正五边形透过对角线，可以用五种不同方式分割成三角形。

阿基米德：沙粒、群牛问题和胃痛游戏（约公元前250年），哥德巴赫猜想（1742年），莫雷角三分线定理（1899年）及雷姆斯理论（1928年）

1751年，当时瑞士数学家欧拉向普鲁士数学家哥德巴赫提出了一个问题：一个平面凸n边形透过对角线，可以有几种不同分割成三角形的方法E？用更生活化的说法来讲，假设你手上有一块多边形的派饼要分割成三角形的形状，你不但只能从派饼的其中一个端点用刀子直线划到其他端点，而且刀子划过的轨迹不能相交，在这些条件限制下，你可以有几种分割的方式？欧拉找出的公式如下：

一个凸多边形必须符合以下条件：在多边形内任意选取两点，则连接这两点的直线必须完全被包含在多边形之内。许多书籍的作者暨数学家狄利（HeinrichD?rrie）表示：“这可以说是最有趣的一个数学问题，因为表面上看起来似乎相当平淡无奇的这个问题，其实是非常难以证明的，……就连欧拉自己也说：‘当我自己使用归纳法处理这个问题时，我才知道这是一个多么费力的工作。’”

以一个矩形为例，它的两条对角线可以划出E4=2的结果；以一个五边形为例，我们可以得到E=5的结果。事实上，早期的研究人员真的倾向使用图形表示方法获致证明此一方程式的灵感，但是，只要随着多边形的边数一多，这种直接目测的作法就会变得一点也不可行；以九边形为例的话，我们总共可以得出429种透过对角线分割成三角形的作法。多边形分割问题吸引很多人的注意，斯洛伐克日耳曼数学家塞格纳（JohannAndreasSegner）发明一种递归公式计算E值：E=E2E-1+E3E-2+…+E-1E2；递归公式指的是让数列中的每一项都定义为前一项的函数。

值得注意的是，E值似乎跟另外一组被称作“卡塔兰数”（Catalannumbers，E=C）的数字集合有着隐密的连接。卡塔兰数是组合数学的课题，组合数学则是一门在离散体系内探讨有限数学运作诸如研究排列组合问题的学问。看书阁『seeshu』，為您提供精彩小說閱讀

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